Abstract (EN):

In the past decades, the importance of discontinuous piecewise-smooth models has been well-established. So far, the dynamics of such models are mostly analyzed based on functions with a single point of discontinuity. This class of functions is well-investigated in the literature and many theoretical results are known. Even though many physical phenomena can be described by this class, for more complex systems, a single point of discontinuity is not sufficient. In this thesis, this theory is extended by the analysis of a map in which the number of discontinuities varies based on different parameters. It is shown that this map does for integer-valued parameters result in clear dynamics, e.g. a sausage-shaped period-adding cascade. Even though these structures are already known in the literature, the understanding of its dynamics is key for the analysis of the structures for a more generalized range of parameter values. For example, for real-valued parameters the map show a much more complex structure consisting of a combination of period-adding and period-incrementing with different coexistence scenarios. Furthermore, it is shown that the iteratively increasing of a parameter related to the number of discontinuities destroys the sausage-shaped structure and transforms it for the next higher integer value to a more complex sausage-shaped structure. It is investigated how this structure is destroyed and how it evolves in the intermediate steps. Additionally, in this new structure an example configuration of the model is found where well-established results from a map with one discontinuity can not be applied.

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Kurzfasung (DE):

In den letzten Jahrzehnten ist das Interesse an diskontinuierlichen, stückweise glatten Modellen stetig gestiegen. Bisher lag der Fokus auf der Analyse von Modellen mit einem Diskontinuitätspunkt. Diese Klasse an Funktionen wurde seither intensiv erforscht und viele theoretische Resultate sind bekannt dafür. Dies war ein notwendiger Schritt, um eine Grundlage für die Analyse von diskontinuierlichen Funktionen zu bilden, jedoch wächst zunehmend das Interesse an Funktionen mit mehreren Diskontinuitätspunkt. Hierfür wird in dieser Arbeit eine Funktion untersucht, welche eine variable Anzahl an Diskontinuitätspunkt hat und somit es ermöglicht, Resultate von Funktionen mit einem Diskontinuitätspunkt auf Funktionen mit mehreren Diskontinuitätspunkten zu übertragen. Es wird gezeigt, dass diese Funktion für ganzzahlige Parameterwerte bereits bekannte Strukturen aufweist, wie zum Beispiel eine "sausage-shaped period-adding" Kaskade. Darüber hinaus wird gezeigt, wie diese Struktur sich für reellwertige Parameterwerte verändert und eine Struktur aufweist mit period-adding und period-incrementing mit paarweiser Koexistenz. Im Speziellen wird die Transformation der sausage-shaped period-adding Kaskade zu der Struktur mit period-adding und period-incrementing beschrieben und analysiert. Bei der Analyse zeigt sich, dass bei dieser neuen Struktur bereits bekannte Resultate von Funktionen mit einem Diskontinuitätspunkt nicht auf diese Funktion mit mehreren Diskontinuitätspunkten übertragen werden kann.