N
oder auch
m
n = f(m)
f: MDie Zuordnung f muß nicht durch eine Rechenvorschrift gegeben sein; ist M endlich, so ist die einfachste Beschreibung von f eine Wertetabelle! M und N können ganz beliebig sein (nicht nur Zahlenmengen); wir unterscheiden auch nicht zwischen Funktionen und Abbildungen.
M heißt Definitionsbereich von f, N heißt Wertevorrat. Anders als vom Gymnasium her gewohnt, verlangen wir, daß f auf ganz M definiert ist; dagegen müssen nicht alle Elemente von N als Werte vorkommen. Die Teilmenge der Elemente von N, die als Funktionswerte tatsächlich angenommen werden, heißt Bildbereich von f, geschrieben Img(f). Ist Img(f) = N, so heißt die Funktion f surjektiv.
Oft verwendet man auch partielle Funktionen, die nicht auf ganz M definiert sind; dann schreiben wir
f: Mund bezeichnen die Teilmenge von M, auf der f definiert ist, mit Def(f); wir nennen sie wieder "Definitionsbereich". Die im Gymnasium häufig betrachteten reellen Funktionen sind partielle Funktionen von R nach R in unserem Sinne. Eine partielle Funktion ist totale Funktion auf ihrem Definitionsbereich!N
Die Funktionen von M nach N bilden selbst eine Menge
(in Modula 2: einen Datentyp);
wir bezeichnen diese mit [MN],
lassen aber gelegentlich die Klammern weg.
Wollen wir andeuten, daß wir die partiellen Funktionen meinen,
so schreiben wir [MN].
Ist eine Funktion f durch einen Rechenterm gegeben, der von einer Veränderlichen x abhängt, so berechnet sich das Ergebnis der Anwendung von f auf ein Argument a durch konsistentes Ersetzen von x durch a und Auswerten des entstehenden neuen Terms. Hängt der Term von mehreren Veränderlichen ab, so müssen wir kenntlich machen, welche der Veränderlichen bei der Anwendung zu ersetzen ist; dies leistet die Lambda-Notation, der in Programmiersprachen die Parameter-Angabe entspricht.
Unser hier eingeführter Funktionsbegriff ist so allgemein,
daß er auch solche Fälle umfaßt,
die in manchen mathematischen Darstellungen als Funktionale
oder höhere Funktionen
bezeichnet werden.